שיעור 67: תרגיל אליפסה

פרק 7: אליפסה

1🔵 סעיף א: מציאת הפרמטרים a ו־b – מחלקים ב־36 ועוברים לצורה הקנונית

2🟢 סעיף ב: מציאת מוקדי האליפסה F₁ ו־F₂ בעזרת c² = a² − b²

3🟣 סעיף ג: מציאת אורכי הציר הגדול והציר הקטן של האליפסה

נתונה האליפסה x² + 4y² = 36 (ראה ציור).
א. מצא את הפרמטרים a ו־b.
ב. מצא את מוקדי האליפסה.
ג. מצא את אורכי צירי האליפסה.

משוואת אליפסה קנונית:

b²x² + a²y² = a²b²

או x²a² + y²b² = 1

c² = a² − b²

r₁ + r₂ = 2a

🔵 סעיף א: מציאת הפרמטרים a ו־b – מחלקים ב־36 ועוברים לצורה הקנונית

מצא את הפרמטרים a ו־b.

מחלקים את המשוואה ב־36 כדי לקבל 1 באגף ימין:

x²36 + 4y²36 = 1

מצמצמים את 4 ו־36:

x²36 + y²9 = 1

a² = 36 b² = 9

באליפסה a, b, c תמיד חיוביים, לכן לוקחים רק את השורש החיובי:

a = 6 b = 3

✅ a = 6 , b = 3

🟢 סעיף ב: מציאת מוקדי האליפסה F₁ ו־F₂ בעזרת c² = a² − b²

מצא את מוקדי האליפסה.

F₁(−c,0) F₂(c,0)

מציבים בקשר בין a, b, c :

c² = a² − b²

c² = 36 − 9

c² = 27

c = √27 = 3√3 (רק החיובי)

✅ F₁(−3√3,0) , F₂(3√3,0)

🟣 סעיף ג: מציאת אורכי הציר הגדול והציר הקטן של האליפסה

מצא את אורכי צירי האליפסה.

הציר הגדול נמצא על ציר x, מ־−a עד a , כלומר מ־−6 עד 6 :

6 − (−6) = 12

הציר הקטן נמצא על ציר y, מ־−b עד b , כלומר מ־−3 עד 3 :

3 − (−3) = 6

✅ הציר הגדול 12 , הציר הקטן 6

📌 לזכור

💡 מחלקים את המשוואה במספר שבאגף ימין כדי להגיע ל־x²a² + y²b² = 1. הפרמטרים a, b, c תמיד חיוביים; המוקדים (±c,0) עם c² = a² − b² ; הציר הגדול 2a והציר הקטן 2b.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא